Лекция 11 | Теория узлов | Теорема Дена — Ликориша в общем случае, разбиение Хегора

12.04.2024 [part 10] — Формулировка теоремы Дена — Ликориша для произвольной компактной ориентируемой поверхности — Лемма: Любые две неразбивающие простые замкнутые кривые переводятся друг в друга конечным числом скручиваний Дена • Случай кривых, пересекающихся по одной точке. Явная конструкция скручивания — сначала по одной, потом по другой кривой • Случай непересекающихся кривых. Рассмотрения подслучаев с разбивающим и неразбивающим объединением данных кривых — сведение обоих подслучаев к предыдущему случаю • Случай кривых, пересекающихся более чем по одной точке. Индуктивное сведение к первому случаю с применением леммы о том, что если у вложенной тета-кривой одна из трех окружностей неразбивающая, то и еще одна из оставшихся двух — тоже — Вывод теоремы Дена — Ликориша из леммы. Последовательная постановка образов меридианов ручек (как неразбивающих кривых) на исходные места с помощью конечных последовательностей скручиваний Дена. Сведение к случаю теоремы Дена — Ликориша для диска с дырами. Замечание о возвращении в меридиан с обращенной ориентацией и демонстрация последовательности из четырех скручиваний, обращающих ориентацию меридиана — Предчувствие разбиения Хегора. Склейка двух шаров по краю дает трехмерную сферу. Приклеивание шара к многообразию по краю не зависит от выбора приклеивающего отображения. Скетч теоремы о независимости результата приклеивания от выбора склеивающего гомеоморфизма-представителя в одном изотопическом классе — Трехмерная сфера, S^2\times S^1 и RP^3 как склейки полноториев по краю, предчувствие линзовых пространств. Однозначность задания вклейки полнотория в многообразие по краю образом меридиана — Формулировка теоремы Хегора о разложении. Предыдущие рассуждения как частные случаи разложений Хегора. Варианты разложения Хегора трехмерной сферы — Идея доказательства теоремы Хегора о разложении в терминах окрестности остова и склейки четвероногих спрутов. Формализация этой идеи с помощью второго барицентрического подразбиения фиксированной триангуляции — Предчувствие теоремы Ликориша — Уоллеса как теоремы о связи двух универсальных моделей замкнутых компактных трехмерных многообразий