Теорема Дена—Нильсена

Докладчик: Андрей Рябичев. Занятие 87. 00:00 Асферические пространства, примеры и свойства 33:00 Гомотопическая эквивалентность поверхностей гомотопна гомеоморфизму (теорема ДН) 34:40 Неравенства Кнезера-Эдмондса и Милнора-Вуда 38:34 Фундаментальная группа и гомологии поверхностей (шаг 1) 42:10 Степень отображения и сохранение локальной ориентации (шаг 2) 58:00 Поиск трансверального графа (шаг 3) 01:21:40 Анализ этого графа 01:27:35 Перестройка 01:43:40 Сокращение и накрытия графов 01:51:50 Подведение итогов и обобщение Пусть S — замкнутая поверхность, а φ — любой автоморфизм фундаментальной группы S. Легко построить отображение f : S→S, реализующее φ. Согласно теореме Уайтхеда, такое f является гомотопической эквивалентностью. Теорема же Дена—Нильсена утверждает, что f гомотопно гомеоморфизму. Мы обсудим доказательство этой теоремы, а также некоторые смежные факты — такие, как теорема Эдмондса о факторизации (которая утверждает, что любое отображение поверхностей либо стягивается на 1-остов, либо гомотопно композиции стягивания нескольких ручек и разветвлённого накрытия), а также, если хватит времени, сюжеты, связанные с понятием геометрической степени. Интересно, что аналог теоремы Дена—Нильсена для поверхностей более чем с двумя проколами/компонентами края неверен, и об этом мы также поговорим (если успеем).
точка me/ldtss «Студенческий семинар по маломерной топологии», Санкт-Петербургский международный математический институт имени Леонарда Эйлера: