Накопительные баллы, или предельные баллы, реальный анализ II

В предыдущем видео мы определили замкнутые множества как множества, дополнение которых является открытым. Мы рассмотрели примеры, чтобы понять, как выглядят замкнутые множества. В этом уроке мы вводим понятие точек накопления, которое даёт нам ещё один способ определить, замкнуто ли множество. (MA 426 Вещественный анализ II, Лекция 9) Точка накопления множества A в метрическом пространстве — это точка x, где каждая открытая окрестность вокруг x содержит хотя бы одну точку из A, которая не является x. Важно отметить, что x не обязательно принадлежит A. Точки накопления также известны как предельные точки или точки скопления. Чтобы проиллюстрировать это, мы рассмотрели несколько примеров. Для интервала [0,1) мы обнаружили, что множество точек накопления равно [0,1]. Для множества рациональных чисел каждое действительное число является точкой накопления. Однако множество целых чисел не имеет точек накопления, поскольку мы всегда можем найти открытую окрестность вокруг любого целого числа, не содержащего других целых чисел. Архимедово множество, состоящее из точек типа 1/n, имеет 0 в качестве единственной точки накопления. Мы также исследовали, как изменяется форма окрестностей в различных метрических пространствах, таких как плоскость xy или дискретное метрическое пространство. Например, график функции y = sin(1/x) для положительных x имеет точки накопления вдоль оси y в диапазоне от -1 до 1, а также все точки самого графика. Наконец, мы обсудили ключевую теорему: множество A замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои точки накопления. Это означает, что если какая-либо точка накопления множества A принадлежит его дополнению, то множество A не замкнуто. Эта теорема связывает наши предыдущие примеры с концепцией замкнутых множеств и помогает нам определить, замкнуты ли некоторые множества. #Математика #Топология #МетрическиеПространства #ТочкиНакопления #ЗамкнутыеНаборы #УрокиМатематики #ДействительныйАнализ #ОбразованиеМатематики #Математика #ПродвинутыеВычисления