Закрытие множества, Действительный анализ II

В этой лекции мы определяем понятие замыкания множества в метрическом пространстве. Замыкание множества A определяется как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A. Это определение приводит к нескольким ключевым наблюдениям: 1. Замыкание A является замкнутым множеством, поскольку оно определяется как пересечение замкнутых множеств. 2. A является подмножеством своего замыкания, что означает, что A всегда содержится внутри своего замыкания. 3. Если A уже замкнуто, то A равно своему замыканию. Другими словами, множество равно своему замыканию тогда и только тогда, когда оно замкнуто. 4. Замыкание A — это наименьшее замкнутое множество, содержащее A. (MA 426 Вещественный анализ II, Лекция 10) Чтобы продемонстрировать эти идеи, мы разобрали несколько примеров. Сначала мы рассмотрели архимедово множество на числовой прямой, состоящее из точек вида 1/n. Анализируя пересечение замкнутых множеств, содержащих это множество, мы пришли к выводу, что замыкание архимедова множества — это само множество вместе с точкой {0}. В дискретном метрическом пространстве каждое множество замкнуто по определению, поэтому замыкание любого множества в дискретном метрическом пространстве — это само множество. Затем мы ввели полезную теорему, которая предлагает альтернативный способ нахождения замыкания множества. Эта теорема утверждает, что замыкание множества A можно также найти, взяв объединение A с его точками накопления (или предельными точками). Этот метод может быть более практичным, чем использование исходного определения. Мы доказали эту теорему, рассмотрев дополнение к A и показав, что замыкание дополнения к A является дополнением объединения A и его точек накопления. Наконец, мы применили эту теорему для быстрого вычисления замыканий нескольких множеств: Замыкание множества рациональных чисел — это вся вещественная прямая. Замыкание открытого интервала (0, 1) — это замкнутый интервал [0, 1]. Замыкание множества точек (x, y) на плоскости, где произведение xy больше 0, — это множество, где xy ≥ 0. Замыкание открытого круга на плоскости с дополнительной точкой на границе — это замкнутый круг. #математика #математика #топология #метрическиепространства #теориямножеств #замкнутыемножества #урокиматематики #реальныйанализ #математическоеобразование #продвинутыйвычислительныйанализ