Введение в метрические пространства, Действительный анализ II

В этой лекции я даю определение метрического пространства – фундаментальной области вещественного анализа. Для построения метрического пространства требуются два условия: множество M и функция D, измеряющая расстояние между элементами M. Мы рассмотрим четыре основных свойства, которым должна удовлетворять метрика: положительность, невырожденность, симметричность и неравенство треугольника. [Плейлист:    • Real Analysis II (in progress)  ] (MA 426 Вещественный анализ II, Лекция 4) Начнём с подробного определения этих свойств. Положительность означает, что расстояние никогда не бывает отрицательным. Невырожденность гарантирует, что расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда элементы совпадают. Симметрия означает, что расстояние от X до Y такое же, как от Y до X. Неравенство треугольника утверждает, что прямое расстояние между двумя точками всегда меньше или равно расстоянию, пройденному через третью точку. Для иллюстрации мы исследуем дискретное метрическое пространство, в котором расстояние равно 0 или 1. Мы проверим, что это пространство удовлетворяет всем метрическим свойствам. Далее мы рассмотрим метрику такси на плоскости xy, вычисляя расстояния на основе путей городских кварталов, а не прямых линий. Мы проверим, что эта метрика также удовлетворяет всем четырём свойствам, и обсудим её уникальные геометрические следствия, такие как ромбовидные окружности. Наконец, я покажу, что любое нормированное векторное пространство порождает метрику, доказав, что свойства нормы обеспечивают эти метрические свойства. В заключение мы обсудим более широкие следствия и ограничения метрик, полученных из норм. #advancedcalculus #MathLecture #MetricSpace #RealAnalysis #Mathematics #MathProof #DiscreteMetric #TaxiCabMetric #EuclideanSpace #Geometry #NormedVectorSpace #MathConcepts