Почему они не преподают исчисление Ньютона «Что будет дальше?»

Ещё одна длинная статья. Очевидно, не для слабонервных :) В общем, эта статья о прекрасном дискретном аналоге математического анализа — исчислении последовательностей или исчислении разностей. Как и в «Алисе в Стране чудес», в этом исчислении из альтернативной реальности всё странно знакомо и в то же время совершенно иначе. В книге представлена ​​интерполяционная формула Ньютона-Грегори, мощный оракул «Что будет дальше?» и несколько необычных находок некоторых извечных фаворитов, таких как последовательность Фибоначчи, треугольник Паскаля и ряд Маклорена. 00:00 Введение 05:16 Производная = разность 08:37 В чём разница? 16:03 Основная формула 18:19 Что дальше — глупости? 22:05 Грегори Ньютон работает для всего 28:15 Интеграл = Сумма 32:52 Дифференциальное уравнение = Разностное уравнение 36:06 Краткое содержание и применение в реальной жизни 39:22 Доказательство Вот отличная статья Дэвида Глейха, в которой особое внимание уделяется использованию падающих степеней.
Это хороший урок из курса Coursera по этой теме:
Один том конспектов Шаума посвящён «Исчислению конечных разностей и разностным уравнениям» (автор — Мюррей Р. Шпигель). Примеров — море! Это действительно хорошая, очень старая книга «Исчисление конечных разностей» Джорджа Буля (опубликована в 1860 году!)
Спасибо Яну Робертсону за рекомендацию. Есть вики-страница о нашей загадочной последовательности:
Там есть доказательство того, почему загадочная последовательность подсчитывает максимальное количество областей, пересекаемых этими отрезками. Если у вас есть доступ к книге «Книга чисел» Джона Конвея и Ричарда Гая, то там приведено лучшее доказательство, которое мне известно. Вот схема решения разностного уравнения Фибоначчи для нахождения формулы Бине:
Вот ещё пара прекрасных моментов, о которых я не удосужился упомянуть: 1. При вычислении формулы Г-Н для 2^n мы на самом деле складываем элементы n-й строки треугольника Паскаля (которая начинается с нулевой строки :) И, конечно же, сложение этих элементов даёт 2^n. 2. Вычисление формулы Г-Н для 2^n при n = -1 даёт 1 - 1 + 1 - 1 + ..., что расходится, но сумма Чезаро для которой равна 2^(-1) = 1/2!! Нечто подобное происходит и при n = -2. 3. В конце доказательства мы также показываем, что разность n = m равна n = m - 1. Из этого сразу следует, что разность m-й нисходящей степени равна m, умноженному на разность m-й нисходящей степени. Сегодняшняя музыка — «I promise» Иэна Поста. Приятного прослушивания! Бёркард P.S.: Несколько опечаток и ляпов    • Why don't they teach Newton's calculus of ...   (396 должно быть 369)    • Why don't they teach Newton's calculus of ...   (куда делась 5?)    • Why don't they teach Newton's calculus of ...   (новый вид математики :)