Лучший парадокс А – А ≠ 0

Это видео о новом потрясающем визуальном решении очень красивого и важного парадокса, на который я наткнулся, готовя предыдущее видео о логарифмах. 00:00 Вступление 00:56 Парадокс 03:52 Визуальная сумма = ln(2) 07:58 Число Пи 11:00 Число Гельфонда 14:22 Точное число Пи 17:35 Теорема Римана о перестановке 22:40 Спасибо! Теорема Римана о перестановке.
На этой странице представлен другой способ вывода сумм этих прекрасных комбинаций m положительных/n отрицательных членов знакопеременного гармонического ряда, выражая H(n) – сумму первых n гармонических чисел – через ln(n) и константу Эйлера – Маскерони. Это также можно превратить в очень красивое визуальное доказательство, следуя примеру, показанному в этом видео    • 700 years of secrets of the Sum of Sums (p...  . То, что число Гельфонда e^π приблизительно равно 20 + π, может быть не совсем совпадением: @mathfromalphatoomega На самом деле, есть своего рода объяснение, почему e^π примерно равно π+20. Если взять сумму (8πk^2-2)e^(-πk^2), то она в итоге будет равна ровно 1 (используя некоторые тождества тета-функции Якоби). Первый член — самый большой, так что это даёт (8π-2)e^(-π)≈1, или e^π≈8π-2. Затем, используя оценку π≈22/7, мы получаем e^π≈π+(7π-2)≈π+20. Я бы не удивился, если бы это уже где-то публиковалось, но мне не удалось его нигде найти. Я работал над задачами, связанными с модулярными формами, и попытался дифференцировать тождество тета-функции θ(-1/τ)=√(τ/i)*θ(τ). Это дало похожее тождество для степенного ряда Σk^2 e^(πik^2τ). Оказалось, что, положив τ=i, можно найти точное значение этой суммы. (@kasugaryuichi9767) Не знаю, новое ли это, но оно точно малоизвестно. Цитируя статью «Почти целое число» в Wolfram MathWorld: «Это любопытное почти тождество, по-видимому, было замечено почти одновременно около 1988 года Н. Дж. А. Слоуном, Дж. Х. Конвеем и С. Плуффом, но до сих пор не найдено удовлетворительного объяснения того, «почему» e^π-π≈20 верно». Соотношение количества положительных и отрицательных членов Интересно посмотреть на закономерности в распределении положительных и отрицательных членов при преобразовании в число Пи. Мы всегда используем только один отрицательный член, прежде чем перейти к следующему. Первые десять членов ряда с положительным знаком: 13, 35, 58, 81, 104, 127, 151, 174, 197, 220,... Если посмотреть на разницу между членами ряда, то получится: 22, 23, 23, 23, 23, 24, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24,... Причина этого в том, что число Гельфонда приблизительно равно 23. Оказывается, если сумма ряда равна пи, то отношение количества положительных и отрицательных членов в конечных частичных суммах ряда сходится к числу Гельфонда. Это всего лишь один шаг вперёд по сравнению с тем, что я говорил о возможности сколь угодно близкого приближения к числу пи путём преобразования усечений десятичного представления числа Гельфонда в обыкновенные дроби. Аналогично и для других целевых чисел. Например, чтобы предсказать повторяющийся узор для числа e, нужно просто вычислить e^e :) @penguincute3564, таким образом, ln(0) = отрицательная бесконечность (имеется в виду +0/1-) Отчёт об ошибке: На отметке 1:18 я говорю «минус одна шестая», хотя следовало бы сказать просто одна шестая. Музыка: Silhouettes---only-piano от Muted Футболка: Футболка Pi Day Left Vs Right Brain Pie Math Geek
Приятного просмотра! Burkard