Σειρά Laurent μιας ορθολογικής συνάρτησης. Βρείτε την επέκταση της σειράς Laurent.

Λύση. Αυτό το πρόβλημα έχει δύο μέρη. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσουμε πόσες διαφορετικές επεκτάσεις σειρών Laurent έχει η συνάρτηση γύρω στο 0. Στη συνέχεια πρέπει να βρούμε αυτές τις σειρές Laurent. Για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, αναζητούμε τις μεγαλύτερες ασύνδετες δακτυλιοειδείς περιοχές γύρω στο 0 στις οποίες η συνάρτηση είναι αναλυτική. Προφανώς, είναι αναλυτικό στο όλα τα σημεία εκτός από το −5 και το 2. Άρα η συνάρτηση είναι αναλυτική σε τρεις δακτυλιοειδείς περιοχές. Σημειώστε ότι η πρώτη εσωτερική περιοχή γύρω από το κέντρο αναπαράστασης είναι ένας δίσκος, και έτσι χρησιμοποιούμε μια επέκταση σειράς ισχύος εκεί, η οποία είναι πραγματικά μια ειδική περίπτωση επέκτασης σειράς Laurent χωρίς αρνητικές δυνάμεις. Είναι μια αναπαράσταση της σειράς Taylor. Έτσι, η συνάρτηση έχει τρεις διαφορετικές επεκτάσεις της σειράς Laurent γύρω στο 0. ένα από αυτά είναι μια σειρά ισχύος. Ας τα βρούμε. Θα χρειαστούμε τη μερική αποσύνθεση του κλάσματος που μπορεί να βρεθεί εύκολα.