Почему формулы для сферы такие странные? (серьёзное обновление величайших открытий Архимеда)

В сегодняшнем видео мы немного окунёмся в историю математики. Я расскажу вам о серьёзном усовершенствовании одного из величайших открытий Архимеда, касающегося сферы, о котором пока известно лишь немногим математикам. 00:00 Введение в багажную ленту 01:04 Багажная лента Архимеда 04:26 Анимация «изнутри наружу» 04:59 Обсуждение «изнутри наружу» 10:38 Вывернутый параболоид 12:43 Соотношение сторон 3:2 13:28 Объём к площади 18:40 Коготь Архимеда 20:55 Развёртывание Земли 29:43 Анимация лотоса 30:38 Спасибо! Эти причудливые конвейерные ленты называют серповидными конвейерами, а иногда и «суши-конвейерами», потому что изначально они были предназначены для транспортировки тарелок с суши.
Эндрю также откопал американский патент, датируемый 1925 годом:
Отличная вики-страница об Архимеде
В работе «О сфере и цилиндре»
Архимед выводит формулы объёма и площади сферы. Доказательства, использованные в этой работе, довольно сложны и соответствуют общепринятым представлениям греческой математики того времени. Его оригинальное остроумное доказательство, скорее всего, использовало рассуждения, основанные на исчислении. Мы с Марти писали об этом здесь:
и здесь:
Также загляните на эту страницу:
�од_м... Почему формула для площади поверхности является производной формулы для объёма? Просто: V'(r) = dV/dr = A(r) dr / dr = A(r). Хорошее обсуждение доказательства луковицы на этой странице. Я бы посоветовал посмотреть обсуждение доказательства луковицы на этой странице:
�адь... Кстати, это работает во всех измерениях: производная формулы объёма nD — это формула для площади nD.
�ем_шара Страница в Википедии о принципе Кавальери
Включает как полусферу = цилиндр - конус, так и параболоид = цилиндр - параболоид. Видео об объеме параболоида с использованием Кавальери от Mathemaniac    • Without integration, why is the volume of ...   Генри Сегерман:
Видео Генри о его напечатанной на 3D-принтере лапе Архимеда:    • Slide-glide cyclides   Файлы Генри для 3D-печати:
Эндрю Кеперт:
Плейлист Эндрю с захватывающими видеороликами, дополняющими это видео Mathologer:    • Lunes and Cyclides   Все анимации Эндрю, представленные в этом видео, а также несколько других (реальная съемка необычной багажной ленты в действии, альтернативное доказательство того, что мы имеем дело с цилиндром без конуса, действие параболоида вывернутым наизнанку, вывернутый наизнанку круг для доказательства связи между площадью и длиной окружности и т. д.) Есть один момент (из многих), который я решил умолчать в конце видео, но который стоит отметить здесь. В конце концов, это не совсем Кавальери. Прежде чем применять метод Кавальери, вам также стоит поразмыслить над тем, почему плоская луна, расположенная вдоль полукруглого меридиана, может быть выпрямлена в нечто с такой же площадью (выпрямите меридианную ось с интервалами, расположенными под прямым углом). Здесь мне захотелось добавить задачу, чтобы люди поняли, почему красная и синяя поверхности на приложенном скриншоте имеют одинаковую площадь:
Самый забавный комментарий: Историки, пытающиеся реконструировать Коготь Архимеда, долго спорили о том, как на самом деле работало это оружие. Источники, похоже, затрудняются точно описать его действие, и теперь мы знаем, почему. Оказывается, это был гигантский диск, который скользил под водой римского корабля, затем поднимал бесчисленные жуткие полумесяцы, которые необъяснимым образом скручивались в сферу, захватывая судно, прежде чем утащить его под воду, при этом НИКОГДА НЕ ОСТАВЛЯЯ НИ ОДНОЙ ЗАЗОРНОЙ ЧАСТИ за весь процесс. Ни спасения, ни выживших, чертовски страшно. Неудивительно, что римский солдат в конце концов убил Архимеда, вопреки приказу консула. Боги знают, какое ещё оружие массового поражения этот человек пустил бы в ход на поле боя, если бы ему позволили нарисовать хоть один круг на песке. Римские пехотинцы, наверное, уже и так страдали от ПТСР от кругов. Футболка: Одна из моих, пару лет назад. Музыка: Taiyo (Sun) от Яна Поста Приятного просмотра! Бёркард P.S.: Спасибо вам, Шарин, Кэм, Тилли и Том, за ваши полевые испытания в последнюю минуту.