Этот треугольник, направленный вниз, означает градиент, деление и завихрение в векторном исчислен...

Градиент, дивергенция и ротор — чрезвычайно полезные операторы в области векторного исчисления. В этом видео мы постараемся максимально наглядно и наглядно объяснить, что они собой представляют. Привет всем! В этом видео я хотел бы представить сложную математическую тему с точки зрения физики. Градиент, дивергенция и ротор используются во многих различных областях физики. Например, мы видим их при изучении гравитации, электромагнетизма, теории относительности и многих других. Оператор del или набла, представленный треугольником вершиной вниз, можно рассматривать как вектор частных производных. В трёх измерениях наш вектор состоит из частных производных d/dx, частных производных d/dy и частных производных d/dz. Каждый из них представляет собой скорость изменения любой заданной величины, к которой мы применяем del, в направлении x, y или z. Частная производная просто отражает тот факт, что мы представляем всё в любом другом направлении постоянным. Итак, если мы пытаемся найти парциальное отношение d/dx, то предполагаем, что наша величина не меняется по осям y и z, и так далее. Этот вектор можно непосредственно применить к скалярному полю, чтобы найти его так называемый «градиент», часто сокращаемый до «град». Скалярное поле — это, по сути, любая область пространства (реальная или абстрактная), которой можно присвоить некоторое число или величину. Например, на карте мы можем видеть числа или контуры, представляющие высоту над уровнем моря каждой точки. Это скалярное поле, потому что каждой точке можно присвоить число — её высоту над уровнем моря. И когда мы применяем оператор градиента к нашему скалярному полю, мы получаем векторное поле. Это векторное поле представляет скорость наискорейшего изменения исходного скалярного поля в каждой точке. Другими словами, в нашей аналогии с картой, в каждой точке градиент указывает на самый крутой подъём, смежный с ней. И размер каждого вектора точно отражает крутизну этого подъёма. (Кстати, векторное поле — это всего лишь область пространства, в которой мы можем сопоставить вектор каждой точке — размер и направление). Кроме того, мы можем применить оператор набла к векторному полю, если вместо прямого применения мы решим взять скалярное произведение между нашим del и полем. Скалярное произведение, или скалярное произведение, двух векторов состоит из умножения соответствующих компонент каждого вектора и последующего сложения этих произведений. Если наше векторное поле описывает электрическое поле, создаваемое в пространстве близлежащими зарядами, то скалярное произведение del и нашего поля даёт нам то, что известно как «дивергенция» поля. Её часто сокращают до «div», и она точно показывает, какая часть поля излучается или поглощается каждой точкой в ​​нашей области пространства. Другими словами, это мера того, насколько каждая точка является источником или стоком поля. И, как оказывается, источниками или стоками могут быть только точки, где есть заряды. Положительные заряды являются источниками электрического поля, поле как бы исходит от них, а отрицательные заряды – стоками, поскольку линии поля там заканчиваются. Это определяется одним из уравнений Максвелла. Таким образом, по сути, нахождение дивергенции векторного поля приводит к скалярному полю. Наконец, мы также можем найти векторное произведение оператора del на векторное поле. Векторное произведение, или векторное произведение, обычно относится к мере выравнивания двух обычных векторов. Конечным результатом является третий вектор, перпендикулярный обоим исходным, и этот вектор будет максимально длинным, если два исходных вектора расположены точно под прямым углом друг к другу. Но если они выровнены или антивыровнены, то результирующий вектор будет иметь нулевую длину. Однако, вычисляя векторное произведение наблы на скалярное поле, мы измеряем «циркуляцию» исходного поля. В каждой точке мы находим вектор, который показывает, насколько повернётся маленькая палочка/кусочек пластика, если поместить её в эту точку поля. Если бы наше поле представляло собой течение воды в озере, то мы могли бы представить, что в него помещают палку, и в некоторых областях она вращается. В этих областях мы могли бы представить «завиток» поля потока воды как ещё один вектор, направленный вдоль оси вращения нашей палки. И чем сильнее вращается палка, тем больше этот вектор. Если она вращается по часовой стрелке, вектор направлен вниз, а если против часовой стрелки, вектор направлен вверх. Тайм-коды 0:55 — Набла/Дель и частные производные 3:21 — Скалярные поля и градиент 5:08 — Векторные поля и дивергенция 8:50 — Завиток 11:04 — Приложения (в физике) Большое спасибо за просмотр! Многие из вас спрашивали об оборудовании, которое я использую для съёмки этих видео, поэтому, пожалуйста, ознакомьтесь с моими партнёрскими ссылками на Amazon здесь — я получаю небольшую комиссию с каждой вашей покупки по этим ссылкам: Моя камера (Canon EOS M50):
Мой объектив (Canon EF-M 22mm):
Микрофон и ст...