19. В.Ю. Саламатова. Моделирование гиперупругих материалов Метод узловых сил, медицинские приложения

11 апреля состоялось 19-е заседание общероссийского междисциплинарного научного семинара "Реология, вязкоупругость, ползучесть, пластичность и разрушение: эффекты, материалы, испытания, модели, анализ, технологии". Доклад "Моделирование гиперупругих материалов: метод гиперупругих узловых сил, меры деформации, биомедицинские приложения" сделала В.Ю. Саламатова, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики, механики и математического моделирования ПМГМУ им. И.М. Сеченова, доцент НТУ "Сириус" Аннотация 1. Для моделирования напряженно-деформированного состояния мягких биологических тканей зачастую используется модель гиперупругого материала. Классические конечно-элементные технологии решения задач нелинейной теории упругости в рамках конечных деформаций для случая гиперупругих материалов основаны на использовании гессиана упругого потенциала. Подобный подход требует отдельной реализации для каждого нового упругого потенциала, и учитывая, что для мягких тканей предложено несколько десятков потенциалов, может быть трудоемким. Мы обобщаем метод приближённого решения задач нелинейной теории упругости, предложенный в [1] для двухмерного материала Сeн-Венана-Кирхгофа, на случаи произвольных гиперупругих материалов в мембранной, оболочечной и трехмерной постановках [4, 5, 6, 9]. Предложенный метод гиперупругих узловых сил использует P1-конечные элементы и интерполяционные свойства барицентрических координат. Данный метод позволяет аналитически записать конечно-элементные уравнения для различных мер деформации, что способствует уменьшению объема вычислений, простоте и общности реализации по сравнению с классическими технологиями, основанными на использовании гессиана упругого потенциала. Метод гиперупругих узловых сил использовался при решении задач о моделировании диастолического состояния аортального клапана [8, 9, 10]. 2. Стандартным подходом для описания механического поведения мягких тканей является априорное задание конкретного вида определяющих соотношений, параметры которого оцениваются с помощью имеющихся экспериментальных данных. Предложено множество форм определяющих соотношений, и практически все наиболее используемые в биомедицинских приложениях определяющие соотношения включают в себя члены, которые сильно коррелируют между собой. Ранее в работах Criscione, Ogden было показано, что подобная корреляция приводит к увеличению ошибок при обработке результатов экспериментов и серьезным проблемам, связанным с определением констант модели. В данной работе будут исследованы возможности определяющих соотношений, члены которых не коррелируют. Этого можно достичь, выбрав в качестве меры деформации компоненты верхнетреугольного (QR) разложения тензора градиента деформаций, предложенной Srinivasa [2] и рассмотренной в [11]. Отметим, что предложенный метод гиперупругих узловых сил достаточно просто может быть реализован для мер деформаций, основанных на полярном и верхнетреугольном (QR) разложении градиента деформации [3]. 3. Использование меры деформации, основанной на QR-разложении градиента деформации, дает возможность простого описания поведения мягких тканей без использования априорно заданного определяющего соотношения и минимизирует ошибки при обработке экспериментальных данных. Преимуществом использования подобных мер деформаций является возможность перехода к так называемым data-driven моделям без априорного задания упругого потенциала. В рамках развития модельно-независимых подходов (использующих таблично заданные экспериментальные данные) для моделирования НДС упругих тел предложенные методы протестированы на примере модельных задач для гиперупругих мембран [7]. 1. Delingette H. Triangular springs for modeling nonlinear membranes //IEEE transactions on visualization and computer graphics. – 2008. – Т. 14. – №. 2. – С. 329-341. 2. Srinivasa A.R. On the use of the upper triangular (or QR) decomposition for developing constitutive equations for Green-elastic materials //Int J Engineering Science. 2012. Т.60. С.1-12. 3. Salamatova V. Y., Vassilevski Y. V., Wang L. Finite element models of hyperelastic materials based on a new strain measure //Differential Equations. – 2018. – Т. 54. – №. 7. – С. 971-978. 4. Salamatova V.Y., Liogky A.A. Method of Hyperelastic Nodal Forces for Deformation of Nonlinear Membranes //Differential Equations. 2020. Т. 56. №7. С. 950-958. 6. Саламатова В. Ю. Конечно-элементный метод расчёта трёхмерной деформации гиперупругих материалов //Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55. – №. 7. – С. 1023-1032. 8. Salamatova V. Y. et al. Numerical assessment of coaptation for auto-pericardium based aortic valve cusps //Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. – 2019. – Т. 34. – №. 5. – С. 277-287. 9. Vassilevski Y., Liogky A., Salamatova V. Application of Hyperelastic Nodal Force Method to Evaluation of Aortic Valve Cusps Coaptation: Thin Shell vs. Membrane Formulations //Mathematics. – 2021. – Т. 9. – №. 12. – С. 1450.