Алгебра и геометрия 34. Билинейные и квадратичные формы

Лектор: Богданов Илья Игоревич Дата лекции: 16.03.2022 Съемка: Мятелин Андрей Монтаж: Зенина Дарья 0:00:00 - Введение 0:00:35 - Теорема Гамильтона-Кэли в общем случае 0:05:49 - Билинейные формы 0:07:07 - Определение билинейной формы 0:11:25 - Определение матрицы билинейной формы 0:14:05 - Вычисление значения билинейной формы с помощью ее матрицы 0:19:05 - Множество билинейных форм — линейное пространство 0:21:15 - Теорема об изоморфизме пр-ва билинейных форм и пространства матриц 0:30:45 - Теорема об изменении матрицы билинейной формы при замене базиса 0:35:55 - Первое следствие об инвариантности ранга матрицы билинейной формы 0:38:55 - Определение ранга билинейной формы 0:39:55 - Второе следствие об инвариантности знака определителя билинейной формы 0:42:30 - Определение (косо)симметрической билинейной формы 0:45:25 - Замечание о существенности второго условия кососимметричности в общем случае и избыточности первого 0:49:50 - Симметрические и кососимметрические формы — подпространства пространства всех форм 0:51:35 - Определение (косо)симметрической матрицы 0:53:15 - (Косо)симметрической форме соответствует (косо)симметрическая матрица, и наоборот 1:02:00 - Теорема о разложении пр-ва билинейных форм в прямую сумму 1:07:33 - Замечание о ложности теоремы для полей характеристики 2 1:08:55 - Определение ядра (косо)симметричной формы 1:11:20 - Определение правого и левого ядра произвольной формы 1:12:40 - Вектор лежит в ядре формы тогда и только тогда, когда он лежит в ядре ее матрицы 1:16:25 - Ядро формы — подпространство размерности n - rk B 1:19:05 - Определение невырожденой билинейной формы 1:21:00 - Определение ортогональных относительно формы векторов и ортогонального дополнения подпространства 15 30 1:24:45 - Пример со скалярным произведением 1:26:58 - Нижняя оценка размерности ортогонального дополнения 1:36:05 - Определение невырожденого относительно формы подпространства и нахождение матрицы ограничения формы на такое подпространство 1:37:55 - Пример вырожденного подпространства относительно невырожденой формы 1:39:25 - Критерий невырождености подпространства 1:46:30 - Замечание о виде матрицы в базисе, соответствующем прямой сумме 1:49:00 - Определение квадратичной формы 1:50:45- Координатный вид квадратичной формы 1:53:20 - Замечание о случае кососимметричной формы 1:54:40 - Теорема о единственности симметричной билинейной формы, задающей данную квадратичную форму 02:00:25 - Следствие об изоморфизме простраств квадратичных и билинейных симметричных форм