Интересное функциональное уравнение, или как я проучил барыгу

Сегодня решаем интересную олимпиадную задачу по математике (аналогичное уравнение встречалось и в ДВИ, и в первых версиях ЕГЭ по математике). Тема: функциональные уравнения