10 Сферы Данделена

Лекция Малого мехмата МГУ 7.04.2012. Фёдор Константинович НИЛОВ — студент мехмата МГУ и лаборатории геометрических методов математической физики имени Н.Н.Боголюбова. Хорошо известны определения коник (кривых второго порядка — эллипсов, парабол, гипербол) при помощи фокусов и при помощи фокусов и директрис. Оказывается, в этих определениях фокусы можно заменить на окружности, а расстояние от точки до фокуса — на длину касательной к фокальной окружности. Классическая конструкция шаров Данделена наглядным образом характеризует сечения кругового конуса (коники). Основная цель лекции — доказательство аналогичной теоремы для других поверхностей вращения второго порядка (поверхностей, образованных вращением коники относительно одной из её осей симметрии). Ключевым моментом в доказательстве теоремы Данделена является то, что на конусе есть семейство прямолинейных образующих. Для произвольной поверхности второго порядка это не так. Для доказательства обобщённой теоремы на лекции использованы обобщённые определения коник. Эти определения отличаются от классических тем, что фокусы в них заменены на окружности, а расстояние от точки до фокуса — на длину касательной к «фокальной» окружности. На лекции были рассказаны и некоторые другие применения этих определений. Это видео из альбома    • Параболы, эллипсы и гиперболы. Спивак