Как доказать, что пределы n^(1/n) и a^(1/n), где a больше 0, равны 1?

Доказать, что пределы n^(1/n) (корень n-й степени из n) и a^(1/n) (корень n-й степени из a), где a больше 0, при n, стремящемся к бесконечности, равны 1. В обоих случаях для доказательств будем использовать теорему о сжатой переменной. В первом случае сначала с помощью бинома Ньютона покажем, что выполняются неравенства: 1 меньше или равно чем n^(1/n) , n^(1/n) меньше, чем (2/n)^(1/2). Очевидно, что пределы последовательностей с общими членами 1 и (2/n)^(1/2) равны 1, откуда, в соответствии с теоремой о сжатой переменной, следует, что предел последовательности с общим членом n^(1/n) также равен 1. Во втором случае особый интерес представляет лишь ситуация, при которой a больше 1. Очевидно, что выполняются неравенства 1 меньше a^(1/n), a^(1/n) меньше, чем n^(1/n) (начиная с некоторых значений n). Пределы последовательностей с общими членам 1 и n^(1/n) равны 1 (первое утверждение очевидно, а второе было доказано ранее), откуда, в соответствии с теоремой о сжатой переменной, следует, что предел последовательности с общим членом a^(1/n) также равен 1.