Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

Докажем теорему о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, если считать от вершин треугольника. Очевидно, достаточно доказать, что любые две медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, если считать от вершин треугольника. Из этого уже будет следовать, что медианы пересекаются в одной точке. Примем одну сторону треугольника за основание и проведём две медианы к боковым сторонам. Докажем, что эти медианы точкой пересечения делятся в упомянутом выше соотношении. Для доказательства будем использовать методы векторной алгебры. Идея доказательства заключается в следующем. Утверждения о соотношении длин различных параллельных отрезков эквивалентно утверждению об аналогичном соотношении модулей векторов, построенных на этих отрезках. В силу колленеарности векторов, построенных на параллельных отрезках, выражаем одни векторы через другие, умножая их на неопределённые пока что коэффициенты. Задача сводится к нахождению этих коэффициентов. Далее строим векторы на двух смежных сторонах треугольника, исходящих из вершины, противолежащей основанию, и выражаем все векторы, участвующие в задаче, через эти два вектора. Из треугольника, образованного основанием исходного треугольника и медианами, получаем связь между тремя векторами. Эта связь может быть выражена через векторное равенство, в левой части которого располагается линейная комбинация двух векторов, построенных на смежных сторонах треугольника с коэффициентами, выражающимися через неопределённые коэффициенты, а в правой части — нулевой вектор. В силу неколлинеарности, а, значит, линейной независимости векторов, фигурирующих в левой части, данное равенство может быть справедливо тогда и только тогда, когда коэффициенты перед этими векторами — нулевые. Приравниваем их нулю и решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений, находя, тем самым, искомые неопределённые коэффициенты. Предыдущий видеоролик (доказательство свойств параллелограмма):    • Как доказать свойства параллелограмма с ис...