Как найти сумму слагаемых вида 1/[k(k+1)(k+2)], где k изменяется от 1 до n?

Требуется найти сумму с общим членом вида 1/[k(k+1)(k+2)], в которой k изменяется от 1 до n. Для нахождения суммы выразим её общий член через сумму простейших дробей, после чего представим исходную сумму в виде разности двух сумм, каждую из которых рассмотрим в отдельности. Общий член каждой из этих двух сумм представляет собой разность двух простейших дробей. Таким образом, каждая из этих сумм содержит 2n слагаемых, входящих в неё с разными знаками. Среди этих слагаемых имеются пары, совпадающие по модулю, но противоположные по знаку. При сложении они, очевидно, взаимно уничтожают друг друга. В итоге, от одной суммы остаются только четыре слагаемых, а от другой — только два. Остаётся лишь суммировать эти итоговые шесть слагаемых, представив результирующее выражение в виде дробно-рациональной функции от n. Полученный результат позволяет также найти сумму числового ряда с общим членом 1/[n(n+1)(n+2)] как предел последовательности с общим членом, равным найденной итоговой сумме. Этот ряд сходится, и его предел равен 1/4.