Комплексные числа в квантовой механике

Краткое введение в использование комплексных чисел в квантовой механике. Это видео предназначено в основном для тех, кто изучает квантовую механику и имеет некоторое представление о таких вещах, как квантовый гармонический осциллятор или атом водорода, но может испытывать некоторую путаницу в том, что представляют собой все эти комплексные числа. Надеюсь, это видео поможет вам лучше разобраться в комплексных числах. Это классная штука. К ней нужно немного привыкнуть, но она классная. Моя главная цель в этом видео — сделать комплексные числа максимально естественными и доступными, поэтому я подчеркиваю, что комплексную фазу можно рассматривать как обобщение положительности и отрицательности, и, в частности, что фаза колеблется между двумя полюсами (которые я полушутя называю инь и ян). Этот подход, хотя и склонен к действительной части, мотивирован наблюдением, что интерференция двух волн одинаковой частоты (конструктивной, деструктивной и всего, что находится между ними) даёт естественную картину одного из значений фазы комплексного числа. Надеюсь, это поможет прояснить, почему комплексные числа не являются совершенно абсурдным понятием, поскольку для многих людей, включая меня, камнем преткновения является то, что комплексные числа кажутся слишком нереалистичными для того, чтобы человеческая интуиция могла их искренне принять. Но, как я надеюсь, покажет это видео, комплексные числа можно сделать интуитивно понятными. Следует, однако, отметить, что история на этом не заканчивается. Освоившись с комплексными числами, вам следует снова расширить свой кругозор, рассматривая комплексные числа как оснастку модели с круговой степенью свободы. В частности, можно представить волновую функцию как сечение расслоения волокон, основанием которого является пространство-время, волокнами — окружности загадочного происхождения, а общим пространством — некий фрагмент того, что мы называем реальностью. Это не даст вам уснуть! Стоит также добавить, что аргумент «симметрия U(1) подразумевает электромагнетизм» вполне может быть совершенно неверным. Верно, что если взять поле Дирака с минимальной связью с полем фотона и принудительно навязать локальную симметрию U(1), то вся красота классического электромагнетизма проявится в полной мере. Но можно легко утверждать, что такое навязывание надуманно и скорее свидетельствует об избыточности нашей модели, чем об истинной симметрии физики. Этот аргумент подкрепляется классификацией Вигнера, с каламбуром, поскольку если мы принимаем безмассовость фотона за отправную точку, то фотон может иметь собственные значения спиральности только +-1, а не 0 (у фотона нет системы покоя), и, следовательно, необходимо исключить любые физические вклады, обусловленные продольными модами фотона, поскольку они не могут существовать. Эта фиктивизация продольных мод даёт в точности обычную калибровочную симметрию 4-потенциала (по крайней мере, мне так сказали... всё ещё нужно самому разобраться, почему это так), и как только вы получите калибровочную симметрию 4-потенциала, вашему полю Дирака лучше иметь локальную симметрию U(1), если вы хотите сохранить минимальную связь! В любом случае, какой бы вариант аргументации ни был более верным, идея о том, что локальная симметрия U(1) поля Дирака, обычная калибровочная симметрия A и безмассовость фотона — это, по сути, одно и то же, остаётся прекрасной. Остаётся открытым философский вопрос о том, являются ли вся эта симметрия и калибровочная свобода подлинным отражением естественной симметрии или же просто теоретической избыточностью; этот вопрос сводится к тому, являются ли задействованные преобразования активными или пассивными, и при серьёзном размышлении быстро переходит в некую туманную экзистенциальную область. Вокруг этих вопросов ведутся жаркие споры. Но это тема для другого раза, и на неё не получится ответить в описании видео на YouTube. Спасибо за просмотр и чтение :) Главы: 0:00 Введение 1:00 Действительные и комплексные числа 2:48 Волнистая волна, развевающаяся 4:33 Комплексное представление волны 7:48 Комплексное сложение, умножение и интерференция 12:10 Анализ Фурье и суперпозиции 12:47 Примеры: гармонический осциллятор и водород 14:30 Плоские волны 16:49 Плотность вероятности 18:07 Симметрия U(1) подразумевает электромагнетизм #физика #квантовая #математика