Толоконников Г.К. Конструктивная категорная теория систем, ЗОНТ-2025, Новосибирск 20-24.10.25

Толоконников Г.К. Конструктивная категорная теория систем, ЗОНТ-2025, Новосибирск 20-24.10.25 Аннотация. Конструктивистская методика подхода А.А.Маркова получила в известной монографии И.Д. Заславкого по симметрической логике начальное оформление, которое доработано автором до замкнутого изложения и положено в основу конструктивной части теории категорных склеек, на языке которых строится категорная теория систем. Дано доказательство принципа дуальности для новых по сравнению с обычной теорией категорий видов дуальности, нашедших приложения в теории искусственных нейронных сетей произвольной топологии. Ключевые слова: категории, категорные склейки, конструктивная логика, башня Маркова, системы, категорные системы Введение Конструктивистская методика подхода А.А. Маркова в конструктивной математике носит фрагментарный характер, она получила в известной монографии И.Д. Заславского по симметрической логике [1] начальное оформление, которое доработано автором до замкнутого изложения и положено в основу конструктивной части теории категорных склеек, на языке которых строится категорная теория систем. Как известно, в традиционной теории категорий повсеместно используется понятие двойственной или дуальной категории и принцип двойственности, доказанный в [2] и состоящий в том, что доказательство утверждения автоматически приводит к доказательству двойственного утверждения. В развиваемой автором теории категорных склеек (см. [3,4] и ссылки там), частным случаем которых являются обычные категории и их высшие аналоги (даблкатегории, n-категории и т.д.) обнаружены новые виды дуальности, для которых также справедлив принцип двойственности. Важным частным случаем категорных склеек являются свёрточные поликатегории, с помощью которых удаётся моделировать искусственные нейроннные сети произвольной топологии. При этом новые виды дуальности и принцип двойственности находят применение в методе обратного распространения ошибки для уточнения и обоснования известных формул С.Осовского. В данной работе дано доказательство принципа дуальности для указанных новых по сравнению с обычной теорией категорий видов дуальности, в случае непосредственно моделирующих искусственные нейронные сети свёрточных мультикатегорий. Дозволенный объем данной статьи не позволяет здесь полностью изложить указанный материал и доказательства, поскольку уже само определение категорной склейки занимает несколько страниц. Это характерно для работ по теории категорий, обычно весьма громоздких, в том числе, и ввиду использования категорных диаграмм. Поэтому мы ограничимся здесь вербальным описанием, которое обоснуем в самом докладе, где будут приведены полные определения и доказательства. О понятии «наука» Важным примером предлагаемого нами системного подхода, которым мы будем этот подход иллюстрировать, является построение А.А. Марковым теории слов в алфавитах (ТСА), изложенное в монографии [5]. Конечно, А.А. Маркова мало интересовали в этой монографии вопросы методологии и систем, необходимые дополнения по этому поводу мы вносим по собственной инициативе. Несколько слов следует сказать по поводу понятия науки. Нам важно, что это понятие включает понятие объекта изучения или предмета науки. В ТСА таким объектом являются алфавит, слова в нем, констуктивные операции, необходимые для выписывания слов. Отметим, что эти понятия относятся к физически существующим объектам (чернила или краска, листы бумаги, например, в клетку, оттиски букв в отдельных клетках, а также сами исследователи, которые конструктивные операции выполняют). Можно показать, что все конструктивные операции сводятся к единственной операции приписывания (впечатывания) справа буквы к уже имеющемуся слову, которую можно повторять необходимое конечное число раз. При этом исследователи понимают данное высказывание (причем, что у них при этом с сознанием или в мозгу для ТСА неважно), умеют осуществлять такое впечатывание, им не нужно знать ответ, например, на вопрос «что такое знак вообще?». Среди указанных конструктивных операций, например, имеются «стереть пятую по счету слева букву в слове», «напечатать слово в обратном порядке букв», «построить схему алгорифма» и так далее. ...