Алгебра и геометрия 41. Свертка тензоров. Тензорная алгебра пространства. Симметричная алгебра

Лектор: Богданов Илья Игоревич Дата лекции: 11.05.2022 Съемка: Жильцов Игорь Монтаж: Зенина Дарья 0:00:00 - Введение 0:00:05 - Организационный вопрос: запись на досрок 0:01:40 - Свертка 0:05:00 - Инвариантность свертки тензора типа (1,1) 0:08:00 - Свертка тензора типа (p,q) 0:10:10 - Cвертка тензора типа (p,q) -тензор типа (p-1, q-1) 0:11:00 - Альтернативное определение свертки тензора, использующее базис 0:14:20 - Эквивалентность определений 0:16:00 - Инвариантность альтернативного определения 0:19:20 - Свертка по любой паре разноимённых индексов 0:21:00 - Пример 1. ф(v) = свертка ф (х) v 0:28:20 - Пример 2. b(u, v) = двойная свертка u (x) b (x) v [одна из полных свёрток] 0:31:05 - Пример 3. Неполная свертка. Однократная свёртка тензорного произведения операторов - их композиция (возможно, в обратном порядке) 0:33:05 - Упражнение 0:33:24 - Третья и инвариантная форма определения свертки 0:38:06 - Тензоры в евклидовом пространстве. Метрический тензор (типа (2,0)) 0:43:17 - Тензор типа (p, q) в евклидовом пространстве. Опускание индекса 0:47:00 - Пример. Если опустить индекс оператора ф, получим билинейную форму b: b(u, v) = (фu, v) 0:51:00 - Поднятие индекса. Двойственный метрический тензор 0:57:00 - "Свертка по одноименным координатам" в евклидовом пространстве 0:58:00 - Опустив, а затем подняв один и тот же индекс, получим исходный тензор 1:00:00 - Упражнение. Как получить координаты ф* из координат ф? 1:01:20 - А что в эрмитовых пространствах? 1:03:00 - Тензорная алгебра пространства. Внешняя прямая сумма линейных пространств 1:06:00 - Связь с прямой суммой 1:10:30 - Прямая сумма счётного количества пространств 1:15:25 - Тензорная алгебра пространства 1:19:30 - Симметричные тензоры 1:28:00 - Симметризация тензора 1:29:00 - Утв. Симметризация тензора действительно симметрична, причём в случае симметричного тензора равна ему самому 1:31:00 - Замечание. f_s(f_t(G)) = f_st(G) 1:36:40 - Следствие. ImS = ST^n(V) 1:38:00 - Симметричная алгебра 1:41:04 - Утв. (Почти) ассоциативность и коммутативность умножения 1:44:18 - Следствие. Ассоциативность и коммутативность умножения в явном виде 1:46:28 - Утв. Базис в ST^n(V) составляют выражения вида S(e_i1 (x) ... (x) e_in) 1:52:00 - Следствие. dim ST^n(V) = C с чертой из d по n 1:55:11- Кососимметричные тензоры 1:57:20 - Альтернирование тензора 2:00:10 - Внешняя алгебра пространства Л(V) и ее свойства 2:15:30 - Базис в Л^n(V) составляют выражения вида S(e_i1 (x) ... (x) e_in) 2:06:40 - Два несложных упражнения - возможные применения построенной теории 2:09:45 - dim Л^k(V) = C из d по k 2:11:00 - Связь с 1 семестром алгема